Analyse S3 : Continuité et différentiabilité en dimension finie

Analyse S3 : Continuité et différentiabilité en dimension finie
Double licence Mathématiques - économie Parcours Double licence Mathématiques - économie

ComposanteUFR de mathématique et d'informatique

Description

Ce cours approfondit les notions de continuité et de différentiabilité en dimension finie, avec un focus sur les applications à plusieurs variables réelles. Les étudiants exploreront la topologie des espaces métriques (ouverts, fermés, compacts, etc.) et les propriétés des fonctions continues (limites, images de compacts). La partie différentiabilité inclut les dérivées directionnelles, le gradient, les formules de Taylor et théorème de Schwarz, et l’étude des extremums locaux et extremums liés.

Disciplines

  • Mathématiques

Syllabus

— Topologie métrique dans Rn

  • notion d’espace métrique, l’exemple des espaces vectoriels normés

  • normes usuelles en dimension finie

  • ouverts, fermés, compacts, connexes (par arcs) dans les espaces métriques

  • intérieur, adhérence et bord

  • limite de suites de Rn, caractérisation séquentielle des propriétés topologiques, complétude

  • l’exemple de R et de R2

— Continuité des applications à plusieurs variables réelles [en priorité en 2 et 3 variables réelles]

  • limite d’une fonction, continuité, opérations (arithmétiques et composition), le cas des fonctions usuelles

  • image d’un compact ou d’un connexe par une application continue

  • application possible : équivalence des normes dans Rn

— Différentiabilité des applications à plusieurs variables réelles

  • dérivées directionnelles et gradient

  • différentiabilité (formule de Taylor à l’ordre 1)

  • représentation matricielle de la différentielle

  • opérations (arithmétiques et composition), le cas des fonctions usuelles

  • inégalité des accroissements finis sur un ouvert convexe

  • application : fonctions de différentielle nulle sur un ouvert connexe

  • Classes de différentiabilité et formule de Taylor bivariée [en deux variables]

  • classe Cn pour n ∈ N ∪ {∞}, C1 ⇒ différentiable, théorème de Schwarz (dérivées mixtes)

  • formule de Taylor en 2 variables

  • étude (en 2 variables) des extremums locaux intérieurs au domaine, exemples de recherche d’extremums sur le bord du domaine (i.e. première version des extrema liés)